타원 궤도

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1. 개요
2. 궤도의 표현
3. 운동의 해석
4. 속도
5. 궤도 요소
6. 대한민국 인공위성의 타원 궤도 활용
- 6.1. 기타 타원 궤도
7. 역사
참조

1. 개요

타원 궤도는 중심체를 공전하는 궤도체가 타원 형태의 경로를 따르는 궤도이다. 궤도 방정식은 타원 궤도를 정의하지만, 시간을 함수로 하는 위치는 폐쇄형 해를 갖지 않는다. 타원 궤도는 초기 위치와 속도로 결정되며, 장반경, 이심률, 진근점각 등의 요소로 표현될 수 있다. 타원 궤도는 에너지와 각운동량이 보존되는 운동을 보이며, 궤도 주기와 속도는 특정 공식을 통해 계산된다. 대한민국 인공위성에서는 정지천이궤도와 몰니야 궤도 등 다양한 타원 궤도가 활용된다. 타원 궤도에 대한 이해는 바빌로니아 시대부터 시작되었으며, 케플러와 뉴턴의 연구를 통해 발전되었다.

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궤도 - 궤도면
궤도면은 인공위성과 발사체의 궤도를 결정하는 중요 요소로, 지구 중력의 비구형성으로 인해 회전하며, 발사 시점은 목표 궤도면과 발사 기지의 교차 시간에 따라 결정된다.
궤도 - 다체 문제
다체 문제는 상호작용하는 여러 물체의 운동을 다루는 문제로, 특히 중력적으로 상호작용하는 천체들의 운동을 예측하는 문제가 대표적이며, 삼체 문제부터는 해석적 해를 구하기 어려워 섭동 이론이나 수치 해석 등의 방법이 활용된다.

타원 궤도
궤도 정보
궤도 형태	타원
이심률 범위	0 ≤ e < 1
에너지	음수
장반축	a > 0
궤도 특성
설명	닫힌 궤도
다른 궤도와의 관계	케플러 궤도의 특수한 경우, 이심률이 1 미만인 경우
태양계 행성 궤도	행성의 궤도는 거의 타원임 (이심률이 매우 작음)
수학적 표현
정의	한 초점으로부터의 거리의 합이 일정한 점들의 집합
극좌표 방정식 (초점이 원점에 있을 때)	r = p / (1 + e cos θ)
여기서	p는 반통경 e는 이심률 θ는 진근점 이각

2. 궤도의 표현

만유인력의 법칙과 쿨롱의 법칙은 역제곱 법칙으로 나타내며, 이러한 힘이 작용할 때 물체가 그리는 궤도는 힘의 중심을 초점으로 하는 2차 곡선이 된다. 이 중 거리가 유한하게 유지되는 속박 궤도가 타원 궤도이다.

태양계에서 행성 궤도는 태양의 만유인력이 지배적이어서 거의 타원 궤도가 된다. 이는 케플러의 제1법칙으로 알려져 있다. 행성 주위를 도는 위성의 궤도도 대부분 타원 궤도이다. 인공위성은 이용 편의상 원 궤도를 사용하기도 하지만, 이는 타원 궤도의 특수한 경우이다. 궤도 이심률이 크면 장타원 궤도라고도 한다.

힘의 중심 천체는 타원의 초점(그림의 점 F)에 위치하며, 타원의 중심(그림의 점 O)에는 위치하지 않는다. 타원 궤도를 도는 인공위성은 궤도상 위치에 따라 지표면 고도가 변한다. 지구에 가장 가까운 점은 근지점(페리지), 가장 먼 점은 원지점(아포지)이다. 행성이 태양에 가장 가까운 점은 근일점, 가장 먼 점은 원일점이다.

2. 1. 극좌표 표현

표준적인 가정 하에서, 두 개의 구형 대칭 물체

(m_1)

과

(m_2)

를 제외하고 다른 힘이 작용하지 않을 때,^[1] 2차 곡선은 초점을 원점으로 하는 극좌표 Polar coordinate system|극좌표^영어에 의해

:

r =\frac{L}{1+e\cos\phi}

로 표시된다.

e

는 이심률이라고 불리는 매개변수로, 2차 곡선의 개형을 나타낸다. 이심률이

0 \le e < 1

의 범위에 있을 때, 분모가 0이 되지 않으므로 초점으로부터의 거리

r

이 유한하게 유지되어 타원이 된다.

L

은 반통경 또는 반직현이라고 불리는 2차 곡선의 크기를 나타내는 매개변수이다.

타원에서는 장반경이

:

a =\frac{L}{1-e^2}

로 정의되며, 반통경 대신 타원의 크기를 나타내는 매개변수로 사용할 수 있다.

2차 곡선이 천체 등의 궤도인 경우, 각도 변수

\phi

는 진근점각이라고 불린다.

진근점각

\phi = 0

일 때, 근점 거리

:

r_\text{min} =\frac{L}{1+e} =a(1-e)

가 되고,

\phi = \pi

일 때, 원점 거리

:

r_\text{max} =\frac{L}{1-e} =a(1+e)

가 된다.

2. 2. 장반경과 이심률

표준적인 가정 하에서, 두 개의 구형 대칭 물체(

m_1

)와 (

m_2

)를 제외하고 다른 힘이 작용하지 않을 때, 타원 궤도를 따라 이동하는 한 물체의 궤도 속도(

v\,

)는 비바 방정식으로부터 계산할 수 있다.^[1]^[2]

:

v = \sqrt{\mu\left({2\over{r}} - {1\over{a}}\right)}

여기서:

$\mu\,$ 는 표준 중력 모수이며, $G(m_1+m_2)$ 로, 한 물체가 다른 물체보다 훨씬 클 때는 종종 $GM$ 으로 표현된다.
$r\,$ 는 궤도 물체와 질량 중심 사이의 거리이다.
$a\,\!$ 는 장반경의 길이이다.

타원 궤도의 에너지를 장반경(및 관련 질량)으로 표현하면 유용할 수 있다. 궤도의 총 에너지는 다음과 같다.

:

E = - G \frac{M m}{2a}

여기서 a는 장반경이다.

만유인력의 법칙과 쿨롱의 법칙은 역제곱 법칙으로 나타낸다. 이러한 힘의 작용 아래에서 운동하는 물체가 그리는 궤도는 힘의 중심을 초점으로 하는 2차 곡선이 된다. 2차 곡선의 궤도 중 거리가 유한하게 머무는 궤도, 즉 속박 궤도가 타원 궤도이다.

궤도 요소 중 하나인 2차 곡선은 초점을 원점으로 하는 극좌표에 의해

:

r =\frac{L}{1+e\cos\phi}

로 표시된다.

e

는 이심률이라고 불리는 매개변수로, 2차 곡선의 개형을 나타낸다. 이심률이

0 \le e < 1

의 범위에 있을 때, 분모가 0이 되지 않으므로 초점으로부터의 거리

r

이 유한하게 유지되어 타원이 된다.

L

은 반통경 또는 반직현이라고 불리는 2차 곡선의 크기를 나타내는 매개변수이다.

타원에서는 장반경이

:

a =\frac{L}{1-e^2}

로 정의되며, 반통경 대신 타원의 크기를 나타내는 매개변수로 사용할 수 있다.

2차 곡선이 천체 등의 궤도인 경우, 각도 변수

\phi

는 진근점각이라고 불린다.

진근점각

\phi = 0

일 때, 근점 거리

:

r_\text{min} =\frac{L}{1+e} =a(1-e)

가 되고,

\phi = \pi

일 때, 원점 거리

:

r_\text{max} =\frac{L}{1-e} =a(1+e)

가 된다.

2. 3. 근점과 원점

표준적인 가정 하에서, 두 개의 구형 대칭 물체를 제외하고 다른 힘이 작용하지 않을 때, 타원 궤도를 따라 이동하는 한 물체의 궤도 속도는 비바 방정식으로 계산할 수 있다.^[1]^[2]

지구에 가장 가까워진 점을 근지점(페리지)이라고 부르며, 지구에서 가장 멀어진 점을 원지점(아포지)이라고 부른다. 행성이 태양에 가장 가까워지는 점은 근일점, 가장 멀어지는 점은 원일점이라고 부른다.

궤도 요소도 참조.

2차 곡선은 초점을 원점으로 하는 극좌표에 의해

:

r = \frac{L}{1 + e \cos \phi}

로 표시된다.

e

는 이심률이라고 불리는 매개변수로, 2차 곡선의 개형을 나타낸다. 이심률이

0 \le e < 1

범위에 있을 때, 분모가 0이 되지 않으므로 초점으로부터의 거리

r

이 유한하게 유지되어 타원이 된다.

L

은 반통경 또는 반직현이라고 불리는 2차 곡선의 크기를 나타내는 매개변수이다.

타원에서 장반경은

:

a = \frac{L}{1 - e^2}

로 정의되며, 반통경 대신 타원의 크기를 나타내는 매개변수로 사용할 수 있다.

2차 곡선이 천체 등의 궤도인 경우, 각도 변수

\phi

는 진근점각이라고 불린다.

진근점각

\phi = 0

일 때 근점 거리

:

r_\text{min} = \frac{L}{1 + e} = a(1 - e)

가 되고,

\phi = \pi

일 때 원점 거리

:

r_\text{max} = \frac{L}{1 - e} = a(1 + e)

가 된다.

3. 운동의 해석

만유인력의 법칙과 쿨롱의 법칙은 역제곱 법칙으로 나타낸다. 이러한 힘의 작용 아래에서 운동하는 물체가 그리는 궤도는 힘의 중심을 초점으로 하는 2차 곡선이 된다. 2차 곡선의 궤도 중 거리가 유한하게 머무는 궤도, 즉 속박 궤도가 타원 궤도이다.

태양계에서 행성에 작용하는 힘은 태양으로부터의 만유인력이 지배적이며, 그 주회 궤도는 거의 타원 궤도가 된다. 이것은 케플러의 제1법칙으로 알려져 있다. 행성 주위를 공전하는 위성의 궤도도 거의 타원 궤도가 된다. 인공위성의 궤도에는, 이용상의 편의상 원 궤도를 취하는 경우도 있지만, 이것은 타원 궤도의 특별한 경우이다. 궤도 이심률이 큰 경우에는 장타원 궤도라고도 불린다.

힘의 중심이 되는 천체는 타원의 초점(그림의 점 F)에 위치하며, 타원의 도형적인 중심(그림의 점 O)에는 위치하지 않는다. 타원 궤도에 있는 인공위성은 지표면으로부터의 고도가 궤도상의 위치에 따라 변화한다. 지구에 가장 가까워진 점을 근지점(perigee)이라고 부르며, 지구에서 가장 멀어진 점을 원지점(apogee)이라고 부른다. 행성이 태양에 가장 가까워지는 점은 근일점, 가장 멀어지는 점은 원일점이라고 불린다.

역제곱 법칙을 따르는 힘은 보존력이며, 포텐셜은 $V = -k/r$ 로 주어진다. 이 포텐셜 하에서의 운동은 보존 에너지 $E$ 와 보존 각운동량 $J$ 에 의해 결정된다.^[9]^[10] 타원 궤도에서는 유한한 거리에 속박되어 있으므로 $E < 0$ 이다.^[9]

장반경 $a$ 는 다음과 같이 주어진다.

: $a =\frac{k}{2|E|} =-\frac{k}{2E}$ ^[9]^[10]

3. 1. 에너지 보존

표준적인 가정 하에서, 타원 궤도의 특정 궤도 에너지(

\epsilon

)는 음수이며, 이 궤도에 대한 궤도 에너지 보존 방정식(비바 방정식)은 다음과 같은 형태를 가질 수 있다.^[4]

:

{v^2\over{2}}-{\mu\over{r}}=-{\mu\over{2a}}=\epsilon<0

여기서:

$v\,$ 는 궤도 운동체의 궤도 속도이고,
$r\,$ 는 궤도 운동체에서 중심체까지의 거리이고,
$a\,$ 는 긴반지름의 길이이고,
$\mu\,$ 는 표준 중력 매개변수이다.

결론:

주어진 긴반지름에 대해 특정 궤도 에너지는 이심률과 무관하다.

비리얼 정리를 사용하여 다음을 찾을 수 있다.

특정 위치 에너지의 시간 평균은 −2ε와 같다.
''r''⁻¹의 시간 평균은 ''a''⁻¹이다.
특정 운동 에너지의 시간 평균은 ε와 같다.

타원 궤도의 에너지를 장반경(및 관련 질량)으로 표현하면 유용할 수 있다. 궤도의 총 에너지는 다음과 같다.

:

E = - G \frac{M m}{2a}

,

여기서 a는 장반경이다.

중력은 중심력이므로 각운동량은 일정하다.

:

\dot{\mathbf{L}} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} = \mathbf{r} \times F(r)\mathbf{\hat{r}} = 0

가장 가까운 지점과 가장 먼 지점에서 각운동량은 궤도를 도는 질점으로부터의 거리에 수직이므로 다음과 같다.

:

L = r p = r m v

.

궤도의 총 에너지는 다음과 같다.^[5]

:

E = \frac{1}{2}m v^2 - G \frac{Mm}{r}

.

v에 대한 대입을 하면 방정식은 다음과 같다.

:

E = \frac{1}{2}\frac{L^2}{mr^2} - G \frac{Mm}{r}

.

이것은 r이 가장 가깝거나 가장 먼 거리일 때 유효하므로 두 개의 연립 방정식이 만들어지며, 이를 E에 대해 풀면 다음과 같다.

:

E = - G \frac{Mm}{r_1 + r_2}

r_1 = a + a \epsilon

이고

r_2 = a - a \epsilon

이므로, 여기서 엡실론은 궤도의 이심률이며, 명시된 결과에 도달한다.

역제곱 법칙을 따르는 힘은 보존력이며, 포텐셜은

V = -k/r

로 주어진다.

이 포텐셜 하에서의 운동을 기술하는 해밀턴 함수는

:

\mathcal{H} =\frac

가 된다^[9]^[10]。 주기의 제곱이 장반경의 세제곱에 비례하는 것은 케플러 제3법칙으로 알려져 있다.

3. 2. 각운동량 보존

중력은 중심력이므로 각운동량은 일정하다.

가장 가까운 지점과 가장 먼 지점에서 각운동량은 궤도를 도는 질점으로부터의 거리에 수직이므로 다음과 같다.

:L = r p = r m v.

역제곱 법칙을 따르는 힘은 보존력이며, 포텐셜은 ''V'' = −''k''/''r''로 주어진다. 이 포텐셜 하에서의 운동을 기술하는 해밀턴 함수는 다음과 같다.

:

\mathcal{H} =\frac

가 된다^[9]^[10]。 주기의 제곱이 장반경의 세제곱에 비례하는 것은 케플러 제3법칙으로 알려져 있다.

3. 3. 궤도 주기

표준적인 가정 하에서 타원 궤도를 따라 이동하는 물체의 궤도 주기(

T\,\!

)는 다음과 같이 계산할 수 있다.^[3]

:

T=2\pi\sqrt{a^3\over{\mu}}

여기서:

$\mu$ 는 표준 중력 상수이다.
$a\,\!$ 는 긴반지름의 길이이다.

결론:

궤도 주기는 긴반지름( $a\,\!$ )과 같은 궤도 반지름을 가진 원 궤도의 궤도 주기와 같다.
주어진 긴반지름에 대해 궤도 주기는 궤도 이심률에 의존하지 않는다. (참조: 케플러의 세 번째 법칙).

또한, 궤도 주기는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

T =\frac{\pi k}

4. 속도

표준적인 가정 하에서, 두 개의 구형 대칭 물체

(m_1)

과

(m_2)

를 제외하고 다른 힘이 작용하지 않을 때,^[1] '''타원 궤도'''를 따라 이동하는 한 물체의 궤도 속도는 비바 방정식으로부터 다음과 같이 계산할 수 있다.^[2]

:

v = \sqrt{\mu\left({2\over{r}} - {1\over{a}}\right)}

여기서:

$\mu\,$ 는 표준 중력 모수이며, $G(m_1+m_2)$ 로 표현된다. 한 물체가 다른 물체보다 훨씬 클 때는 종종 $GM$ 으로 표현된다.
$r\,$ 는 궤도 물체와 질량 중심 사이의 거리이다.
$a\,\!$ 는 장반경의 길이이다.

쌍곡선 궤도의 속도 방정식은

(+{1\over{a}})

를 가지거나, 이 경우

(a)

가 음수라는 관례와 함께 동일하다.

5. 궤도 요소

어떤 주어진 시점에서 궤도체의 상태는 중심체에 대한 궤도체의 위치와 속도로 정의되며, 이는 3차원 데카르트 좌표계와 궤도체의 속도에 대한 유사한 데카르트 성분으로 나타낼 수 있다. 이 여섯 개의 변수 집합은 시간과 함께 궤도 상태 벡터라고 한다. 타원 궤도를 완전히 나타내려면 최소한 여섯 개의 변수가 필요한데, 일반적으로 사용되는 여섯 개의 매개변수 집합은 궤도 요소이다.

6. 대한민국 인공위성의 타원 궤도 활용

대한민국은 아직 인공위성을 타원 궤도로 활용한 뚜렷한 사례를 제시하지는 않았다. 그러나 타원 궤도는 우주 개발 분야에서 중요한 역할을 한다.

6. 1. 기타 타원 궤도

태양계에서 행성, 소행성, 대부분의 혜성 및 일부 우주 쓰레기 조각들은 태양을 중심으로 대략적인 타원 궤도를 가진다. 엄밀히 말하면, 두 천체는 타원의 동일한 초점을 중심으로 공전하며, 이 초점은 더 질량이 큰 천체에 더 가깝다. 그러나 한 천체가 지구에 대한 태양과 같이 훨씬 더 질량이 큰 경우, 초점은 더 큰 질량을 가진 천체 내에 포함될 수 있으며, 따라서 더 작은 천체가 그 주위를 공전한다고 말한다. 다음은 근일점 및 원일점 차트이다. 행성, 왜행성, 그리고 핼리 혜성의 이심률 변화를 보여준다. 태양으로부터의 거리가 유사할수록 막대가 넓을수록 이심률이 더 크다는 것을 나타낸다. 지구와 금성의 거의 0에 가까운 이심률과 핼리 혜성 및 에리스의 엄청난 이심률을 비교해 보라.

7. 역사

바빌로니아인들은 태양의 황도를 따라 움직임이 일정하지 않다는 것을 처음으로 깨달았지만, 그 이유에 대해서는 알지 못했다. 오늘날에는 이것이 지구가 태양을 중심으로 타원 궤도를 돌면서 근일점에서 태양에 더 가까이 있을 때는 더 빠르게 움직이고, 원일점에서 더 멀리 떨어져 있을 때는 더 느리게 움직이기 때문이라는 것이 알려져 있다.^[8]

17세기에 요하네스 케플러는 행성이 태양을 중심으로 이동하는 궤도가 태양을 한 초점으로 하는 타원이라는 것을 발견했고, 이를 그의 첫 번째 행성 운동 법칙으로 설명했다. 이후 아이작 뉴턴은 이것을 그의 만유인력의 법칙의 결과로 설명했다.

참조

_[1] 서적 Fundamentals Of Astrodynamics https://books.google[...] Dover 1971
_[2] 서적 Fundamental Planetary Sciences: physics, chemistry, and habitability Cambridge University Press
_[3] 서적 Fundamentals Of Astrodynamics https://books.google[...] Dover 1971
_[4] 서적 Fundamentals Of Astrodynamics https://books.google[...] Dover 1971
_[5] 서적 Fundamentals Of Astrodynamics https://books.google[...] Dover 1971
_[6] 서적 Fundamentals Of Astrodynamics https://books.google[...] Dover 1971
_[7] 서적 Fundamentals Of Astrodynamics https://books.google[...] Dover 1971
_[8] 서적 Babylon to Voyager and beyond: a history of planetary astronomy https://books.google[...] Cambridge University Press
_[9] 서적 ランダウ、リフシッツ『力学』
_[10] 문서 日置物理学１の講義ノート

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